Анализ модели ценообразования финансовых активов в контексте дисконтирования денежных потоков

Анализ модели ценообразования финансовых активов в контексте дисконтирования денежных потоков Магистр технических наук Абдиков А.Б.

Научный руководитель: к.э.н.Байсеркеева С.С.

Современная теория инвестиций в финансовые активы, в отличие от инвестиций в реальные активы и производные инструменты, включает три основных блока, подвергающихся постоянному исследованию и развитию. Она охватывает три десятилетия с 1950 до 1970, а именно: однофакторная модель базирующаяся на выборе эффективного портфеля по критерию ожидаемых доходностей и их вариации (MVE) введенной Марковитцом (1952, 1959) и упрощенной Шарпом (1963), модель ценообразования финансовых активов (CAMP) независимо разработанная Шарпом (1964), Линтером (1965) и Моссином (1966), и арбитражная теория ценообразования (APT) разработанная Россом (1976). [1, 1118; 2, 990]

Тогда как MVE рассматривает вопрос диверсифицируемости собственного риска финансового инструмента связанного с ожидаемым уровнем доходности по средствам выбора оптимального портфеля, CAPM анализирует оценку ожидаемых доходностей финансовых активов относительно временной структуры безрисковой ставки доходности и недеверсифицируемого рыночного риска. В частности, обе теории MVE и CAPM полагаются на анализ второго момента случайной величины, то есть ее вариации, как меры риска, связанного с рассматриваемым финансовым активом. Однако, как продемонстрировано в APT, рассмотрение риска и его анализ может производиться в свете иных факторов, нежели обычной вариации доходности финансового инструмента и ее ковариации с рыночной доходностью. Все эти взаимосвязанные теории и модели будут детально рассмотрены ниже. Так же предложено эмперическое тестирование CAPM и APT. Заключение автора и анализ применимости данных теорий приведен в конце раздела.

Теория выбора эффективного портфеля Марковица вводит в использование следующие понятия 1) MVE для нахождения оптимальной комбинации ценных бумаг при минимизации вариации и 2) факторный анализ для моделирования закона распределения доходностей финансовых инструментов и корреляций между ними. Основная цель MVE отыскание таких комбинаций финансовых инструментов, которые минимизируют уровень портфельного риска, выраженный вариацией, при заданном наперед уровне ожидаемой доходности, выраженном как взвешенные доходности инструментов входящих в портфель. Следующие уравнения представляют статистическую и матричную запись уравнений для отыскания оптимальных комбинаций финансовых инструментов:

min V = ZnZnaijwiwj = min 0.5wTVw

((8)

гдеminV – минимизируемый функционал. И

,

((9)

,

((10)

гдеV – вариация доходности портфеля;

Е – ожидаемая доходность портфеля;

е – n-вектор доходностей инструментов, входящих в портфель;

w – n-вектор весов инструментов;

sij– ковариация доходностей инструментов i, j, i≠j;

wiwj– веса финансовых инструментов i, j, i≠j.

Используя оптимизацию Лагранжианом по двум переменным, Х и у, веса финансовых инструментов входящих в портфель получаем:

w = D-1[B(V-1)-A(V-1e)] + D-1 [C(V-1e)-A(V-11 )]E

((11)

Характеристики границы портфеля MVE:

- MV граница описывается параболической функцией, тогда как MSD описывается гиперболической функцией;

- MVE портфели располагаются на границе выше портфеля с минимальной вариацией доходности;

- всякий портфель является линейной комбинацией двух других граничных портфелей (frontierportfolios);

- всякий MVE портфель имеет противолежащий портфель с нулевой ковариацией чья доходность равняется тангенсоиде MVE портфеля лежащего на MV параболе;

- ожидаемая доходность каждого портфеля может быть получена из линейной комбинации MVE портфеля и противолежащего портфеля с нулевой ковариацией;

- линейная комбинация безрисковой доходности и доходности MVE портфеля предполагает двухэтапную сепарацию фондов. [4, 1119-1121; 6, 387-389]

Как показал Шарп (1984), факторная модель описывает процесс генерации случайной доходности который является основой ценообразования финансовых активов. Делается попытка объяснить основные причины корреляции между доходностями финансовых инструментов. Общая факторная модель представлена следующей нотацией:

,

((12)

((13)

гдеrj– доходность j финансового инструмента exante;

αj– нефактораная доходность инструмента j;

βji– чувствительность доходности инструмента j к фактору I;

Fi– значение i фактора;

εj– остаточная доходность не объясненная ни одним фактором в модели;

E[εj] – математическое ожидание случайного члена модели. [5, 392]

Допущения и следствия факторной модели. Основное допущение факторной модели Шарпа состоит в том, что остаточные доходности, не объяснённые ни одним фактором модели не коррелирую друг с другом помимо отсутствия корреляции с любым фактором модели. Таким образом подразумевается, что кросс-секциональные доходы связаны друг с другом только через их общую реакцию на изменения в факторах модели. Более того, в нотации ожидаемой доходности подразумевается, что случайный член модели будет равен нулю, поскольку в идеальном случае модель должна включать все факторы, от которых зависит доходность. [3, 1521-1525]

Тем не менее, в рамках рассматриваемой модели не делается допущения относительно предпочтений инвесторов, таких как предпочтение определенного уровня риска или временного горизонта инвестирования. Таким образом, отсутствует всякая гарантия что доходность одного инструмента Pj отличается от доходности других инструментов, поскольку их aj может быть скорректирована так, что все доходности будут одинаковы. Более того не может утверждаться, что факторная модель для одного периода буде применима для следующего периода, и что факторная модель приемлемая для одного индивида будет приемлема для другого индивида.

Многие исследователи пытаются идентифицировать релевантные факторы для включения в их мультифакторные модели. Тем не менее, Марковитц (1959) кто разработал, и Шарп (1963) упростивший однофакторную модель не удовлетворены такими выводами, поскольку они не могут быть использованы для расчёта равновесной доходности финансовых инструментов торгуемых на рынках капитала. Поиск равновесной модели ценообразования финансовых активов завершился, когда Шарп (1964), Линтер (1965) и Моссин (1966) независимо разработали CAPM и Росс (1976) APT. [3, 1548-1551]

В модели ценообразования финансовых активов CAMP делаются следующие допущения:

- абсолютная конкуренция: Отдельные инвесторы не имеют влияние на цены активов;

- беспрепятственная торговля: Отсутствуют транзакционные издержки, налоги, или ограничения по торговле ценными бумагами. Более того, все активы и ценные бумаги бесконечно делимы и ликвидны;

- гомогенность ожиданий: Все инвесторы имеют гомогенные байессовские ожидания и получают одинаковую релевантную информацию, влияющую на рыночные цены;

- индивидуальные предпочтения: Все инвесторы рассматривают исключительно соотношение ожидаемого риска и доходности;

- индивидуальная рациональность: Все инвесторы максимизируют полезность своих рациональных ожиданий. [3, 1527-1529]

Параметр Рj является мерой чувствительности того, как ожидаемая доходность j финансового инструмента изменится в ответ на изменение доходности рыночного портфеля. Так как рыночная риск премия всегда положительна, изменение рыночной доходности финансового инструмента в точности повторяет изменение доходности рыночного портфеля при Рjравном 1.0. Если данный коэффициент больше или меньше 1.0, ожидаемая доходность рассматриваемого финансового инструмента будет изменяться быстрее или, соответственно, медленнее изменения рыночной доходности. Тем не менее, следует отметить, что САМР не требует линейной зависимости доходностей финансового инструмента и рыночного портфеля. Ожидаемая доходность финансового инструмента рассчитанная по САМР относится к Рj через характеристическую кривую называемую «линия рынка ценных бумаг» (SML), вместо ее вычисления посредствам стандартного отклонения и математического ожидания доходности на CML, как описывается в MVE. Можно предположить, что инвесторы имеют и другие предпочтения, помимо рыночной риск премии, при расчёте ожидаемой доходности финансового инструмента. Ослабление изначальных допущений САМР были исследованы множеством финансовых экономистов включая:

- версия САМР с гетерогенными ожиданиями, Линтер (1969);

- САМР с включением налогов, Бреннан (1970);

- САМР с нулевой «бетой» в отсутствие безрискового заимствования, Блэк (1972);

- нерыночная САМР, Майерс (1972);

- САМР с межвременными предпочтениями и предпочтениями ликвидности, Мертон (1973);

- потребительская САМР с включением агрегированного уровня потребления, Брееден (1979);

- САМР на функциях полезности для тестирования модели Бреедена, Браун и Гиббонс (1985);

- САМР на анализе сопряженных прав (ССА), Ло (1986);

- бихевиористическая САМР включающая трейдерскую активность, Штатман и Шефрин (1994). [3, 1537-1539]

Чемберлин и Ротшильд (1983) предложили обобщение АРТ с аппроксимированной факторной структурой, делая допущения относительно замещения допущения о безарбитражности непрерывным ценовым функционалом. Райсман (1988) доказал обобщенную АРТ используя теорему Хана Банаха, в соответствии с которой доходность финансовых инструментов имеет аппроксимированную факторную структуру. Он сделал вывод о возможности использования обобщенной АРТ, допускающем бесконечное факторное пространство для расширения теории ценообразования финансовых активов для динамичного случая. Даже с доказательством Райсмана, использование математической теории Банаха находится за пределами понимания обывателя. Шенкен (1992) предложил альтернативное доказательство результатов, ранее полученных Райсманом. [1, 1558-1561]

Из доказательства Райсмана следует, что бесконечное факторное пространство ожидаемых доходностей может быть аппроксимировано некоторой линейной функцией, состоящей из бета-коэффициентов факторов финансовых активов. Шенкен показал, что если бета фактора F примерное пропорциональна бетам заменяющего фактора Р, тогда ожидаемые доходности примерно равны линейной функции бета-коэффициентов по Р.

Большинство эмпирических исследований и тестов, проведенных в области диверсификации, факторных моделей, САРМ и АРТ подвергались критики и вызывали неоднозначную реакцию в академических кругах. Приложения портфельной теории сильно высказывались в пользу диверсификации между разными классами активов с различным риск-профилем, а так же межстрановой диверсификации. Как заметил Фридман (1971), диверсификация портфеля между финансовыми и реальными активами (н.р. недвижимостью) может улучшить эффективность портфеля. Курцио (1983), Вебб, Курцио и Рубенс (1988) исследовали снижение собственного риска портфеля за счет диверсификации между разными классами активов и установили, что корреляция доходностей финансовых активов и недвижимости ниже, чем корреляции доходностей в рамках одного касса активов. Грубель (1968) заметил, что международная диверсификация портфеля так же снижает собственный риск портфеля. Как было отмечено Эрунза и Сенбет (1981), а так же Адлером и Думасом (1983) непрямая международная диверсификация портфеля может быть достигнута за счет использования акций транснациональных компаний. [3, 1536; 8, 1247-1248]

Оба подхода в диверсификации могут быть использованы для формирования портфеля, диверсифицированного как по классам активов, так и международно, для того чтобы максимально снизить систематический риск, как было предложено Курцио и Циобровски (1991). Используя данные, включающие доходности казначейских облигаций правительства США, корпоративных облигаций, и обыкновенных акций, а так же трех типов недвижимости (коммерческую, жилую и сельскохозяйственную) для рынков США, Японии и Британии с 1973 по 1987, скорректировав доходности на изменение курса валют, но исключая из рассмотрения налоги, транзакционные издержки, ограничения по короткой продаже они установили, что в долгосрочной перспективе глобально диверсифицированный портфель сразними классами активов превосходит комбинации портфелей финансовых активов, местных и зарубежных финансовых активов, местного портфеля с разными классами активов, соответственно. [8, 1251-1257]

В области факторных моделей различают два типа факторного анализа: факторный анализ ковариации и факторы предикторы ожидаемой доходности. Первый тип включает анализ временных рядов и автокорреляции между доходностями конкретных финансовых активов и событиями (eventfactors), например макро и микроэкономическими факторами, индустриальными факторами. Второй тип анализа рассматривает кросс-секционную вариацию доходностей индуцируемую специфическими для фирмы факторами, такими как: риск, ликвидность, уровень цен, потенциал роста и прочими техническими факторами. В последнее время исследователи пытаются определить релевантные факторы, оказывающие влияние на доходности финансовых активов.

Кинг (1966) использует рыночные и отраслевые факторы, тогда как Финей и Хестер (1967) используют анализ основных компонентов для идентификации кросс-секционных факторов. Елтон и Грубер (1973) оценивают структуру зависимостей цен акций. Фама и МакБес (1973) тестируют факторную равновесную модель ожидаемых доходностей. Фарелл (1974) анализирует ковариацию доходностей акций для определения групп гомогенных акций. Росенберг и Марас (1975) используют мультифакторную модель для определения систематического и остаточного риска. [8, 1259]

Арнотт (1980) полагается на кластерный анализ для определения ковариатов и движения цен на акции. Шарп (1982) использует мультифакторную модель для определения доходностей на NYSE. Эстеп, Хансон и Джонсон (1983) попытались найти совокупность факторов для определения доходности и риска акций. Росенберг, Рейд и Ланштайн (1985) отметили влияние отношения рыночной цены акции к ее номинальной стоимости как один из важнейших факторов, оказывающий влияние на рыночную риск-премию. Фама и Френч (1992, 1995, 1996) добавили фактор размера и отношения рыночной цены акции к ее номинальной стоимости акции к САРМ и утверждают, что трехфакторная модель объясняет большую часть рыночных аномалий. Хойген и Бэкер (1996) используют все специфические для фирмы факторы в их кросс-секционной и кросс-национальной факторной модели и делают вывод, что они являются для всех акций и рынком в мире. [8, 1301-1305]

Как утверждает Ролл (1977), доказательные тесты не могут быть произведены для САРМ потому, что данная модель разрабатывалась как модель exante, а не expost. Более того, определение и измерение рыночного портфеля с включением неликвидных зарубежных активов, таких как недвижимость, зарубежные финансовые активы, сырьевые товары до сих пор вызывает сомнения в смысле сопоставимости их доходностей. Его аргументы подтверждаются фактом того, что даже если капитальные рынки эффективны и САРМ валидна, кросс-секционная SML не может быть использована как средство оценки моделей выбора портфеля expost из-за следующих фактов:

- из-за существующих торговых ограничений, таких как нелимитированноебезрисковое заимствование и короткие продажи, инвесторы могут быть не способны сформировать портфель на границе MVE;

- поскольку доходности ценных бумаг не описываются нормальным распределением, инвесторы могут иметь смещенные предпочтения и формировать неэффективные портфели;

- поскольку транзакционные издержки и налогообложение оказывает влияние на доходность ценных бумаг, инвесторы с разными затратами могут формировать неэффективные портфели с включением затрат по их формированию в рассмотрение;

- инвесторы могут формировать субоптимальные портфели изза неделимости некоторых активов, таких как человеческий капитал. [8,1306]

Тестирование САРМ проводилось в следующей последовательности. Прямое тестирование САРМ впервые было проведено Дугласом (1969), который обнаружил, что средняя доходность финансовых инструментов в семи периодах по 5 лет с 1926 по 1960 годы положительно связана с их вариацией. Линтер (1969) использовал кросс-секционные данные с 1954 по 1963 годы для тестирования вариации остаточной доходности и заметил, что безрисковая ставка выше и SML более пологая, чем ожидалось в соответствии с САРМ. Другое кросс-секционное исследование проведено Блюмом и Фрэндом (1970, 1973) на портфелеценных бумаг котируемых на NYSE с 1960 по 1968 годы. Используя коэффициенты Йенсена, Трейнора и Шарпа они обнаружили, что акции с низкой бетой недооценены, тогда как с высокой наоборот – переоценены. [9, 747-749]

Исследование Линтера было снова протестировано Миллером и Шоулзом (1972) с использованием других бумаг, однако они пришли к такому же заключению. Блэк, Йенсен и Шоулз (1972) исследовали среднюю доходность 10 портфелей на NYSE с 1931 по 1965 годы и обнаружили линейную зависимость между риском и доходностью. Фама и МакБес (1973) увеличили количеств портфелей до 20 и временной промежуток с 1926 по 1968 используя пятилетние интервалы. Они пришли к такому же заключению как Блэк, Йенсен и Шоулз и дополнительно установили нелинейность коэффициентов бета.

Другие тесты САРМ проводились вместе с тестами эффективности рынка при их совместной гипотезе. Базу (1977) тестировал низкий коэффициент Р/Е против месячных доходностей портфелей с 1957 по 1971 года и обнаружил их превосходство над прогнозами САРМ. Банц (1981) исследовал доходности портфелей акций с поправкой на эффект размера и обнаружил негативную зависимость между размером компании и доходностью ее акций. Райганум (1981) исследовал доходности акций до объявления чистой прибыли между 1975 и 1977 годами и пришел к выводу, что портфели сформированные исходя из критериев размера и коэффициента Р/Е демонстрировали сверхнормальные прибыли по крайней мере за рассматриваемый период. Леви (1978) и Майшар (1979, 1981, 1983) предложили иное объяснение для эффекта размера, нежели САРМ. Розенберг, Рейд и Ланштайн (1985) рассматривали месячные доходности акций с 1973 по 1980 год и показали, что отношение рыночной цены к номинальной стоимости акций до некоторой степени объясняют поведение доходностей. Лаконишок и Шапиро (1986) тестировали месячные доходности за 20 лет с 1962 по 1981 годы используя те же методы, что Фама и МакБес и обнаружили что ни бета, ни вариация не являются статистически значимыми при прогнозировании доходностей. [9, 754-755]

Фама и Френч (1992) исследовали доходности акций за два периода с 1963 по 1990 и с 1940 по 1990 годы использую 100 портфелей с NYSE, AMEX, и NASDAQ и обнаружили что размер и отношение рыночной к номинальной цене акции связаны с месячными доходностями, тогда как бета не является статистически значимой при ее корректировке на фактор размера. Они сделали вывод, что размер компании и отношение рыночной к номинальной цене акции могут служить средством для оценки нерыночного риска, а доходности, превышающие риск-премию могут быть объяснены нерациональным поведением инвесторов.

Лаконшок, Шляйфер и Вишня (1994) протестировали контр-рыночные стратегии и пришли к выводу, что голубые фишки генерируют большие доходности, чем акции растущих компаний и акции с моментумом. Котари, Шенкен и Слоан (1995) исследовали кросс-секционные ожидаемые доходности за год с 1927 по 1990 годы и обнаружили статистически значимую связь между бетами и доходностью и слабую связь между отношением цены акций к их номинальной стоимости и доходностью. Фама и Френч (1995) попытались объяснить аномалии связанные с размером компаний и отношением цены акций к их номинальной стоимости и обнаружили что эти два показателя сильно связаны и чистым доходом компаний, тогда как размер больше связан с годовыми доходностями, чем отношением цены акций к их номинальной стоимости. Джаганатан и Ванг (1993) утверждают что беты изменяются в рамках бизнес цикла и предлагают модель с тремя бетами. [9, 794-815]

Фама и Френч (1996) предложили трехфакторную модель, которая может объяснить большинство рыночных аномалий, обнаруженных САРМ и предлагающую их объяснение, в частности, что присутствуют общие источники вариации, иррациональное поведение инвесторов не может провоцировать рыночные аномалии, смещенные беты являются результатом выборки, подгонки данных либо неприемлемым выбором инструментальных переменных.Хойген и Бэкер (1996) предлагают два альтернативных подхода для решения проблемы рыночных аномалий, а именно: использовать многофакторную и бехивеористическую модели. В рамках первого подхода, 41 фактор сгруппировали в 6 характерестических групп, а именно: 10 факторов риска, 4 фактора ликвидности, 9 факторов потенциального роста, 7 технических факторов и 1 индустриальный фактор. Были получены следующие результаты:

- акции с большей ожидаемой и реализованной доходностью менее рискованы, чем акции с меньшей доходностью;

- важнейшие детерминанты ожидаемой доходности общие для всех мировых рынков в мире;

- гипотеза эффективного рынка должна быть отклонена. [9, 810]

Испытания APT, хотя произошли около десяти лет после САРМ, являются менее спорными, поскольку APT сама не требуется никаких предположений о распределении доходностей, предпочтений инвесторов и рыночного портфеля, имея возможность предсказать относительное ценообразование любого подмножества ценных бумаг. Ролл и Росс (1980) приступили к эмпирическим расследованиям APT, рассматривая дневные доходности акций на NYSE и AMEX между 1962 и 1972 годами. После поправки на зависимости между средней ожидаемой доходностью и стандартным отклонением, они считают, что общая дисперсия доходности не добавляет объясняющей силы модели. Они также нашли тот же результат для свободного члена, который доказывает, что APT является надежной и не должна быть отклонена. Райнганум (1981) формирует портфели, исходя из тех же факторов, основанных на доходности за предыдущие годы и находит избыточные прибыли. Он делает вывод о необходимости отвергнуть APT. Шенкен (1982) сомневается в проверяемости APT, поскольку 1) для аппроксимации доходности необходимо большое количество ценных бумаг, соответственно арбитражная теория может не работать на малых выборках и 2) так как АРТ базируется на линейной факторной модели, существует вероятность того, что при использовании различных выборок будут получены разные бета коэффициенты, которые могут не совпасть друг с другом. [10, 150-152]

Чен (1983) сгруппировал акции в соответствии с их стоимостью на акции с высокой рыночной и низкой рыночной стоимостями и обнаружил, что группировка на основе рыночной стоимости не имеет существенного значения. Он также сравнил полученные результаты с САРМ и считает, что APT объясняет значительную часть САРМ, но не наоборот. Чен, Ролл и Росс (1983) использовали четыре макроэкономических фактора в APT, а именно: индекс промышленного производства, соотношения инфляции, спрэд доходности между казначейскими облигациями и корпоративными облигациями с рейтингом ВВ, и спрэд доходности по краткосрочным и долгосрочным облигациям. [10, 174-179]

Коннор (1983) тестирует APT с условием конкурентного равновесия по Нэшу и устанавливает, что это условие может устранить необходимость использования неограниченного количества ценных бумаг для формирования рыночного портфеля. Ролл и Росс (1984) критически исследуют эмпирические данные, полученные при тестировании арбитражной теории и утверждают, что она проверяема и может быть использована в стратегическом планировании портфеля. Дибвик и Росс (1985) анализируют критику Шенкена и замечают, что доходности, объясненные факторной структурой в фактических портфелях, сильно отличаются от доходностей объяснённых факторной структурой в случайных портфелях. Вэй (1988) использует равновесную APT по Нэшу, добавив рыночный портфель, как еще один фактор, который эффективно сочетает САРМ и APT.

Робин и Шукла (1991) изучили месячные доходности с 1976 по 1985 используя данные Chicago'sResearchonSecurityPrices (CRSP) и нашли, что ошибки ценообразования и дисперсия высоки и статистически значимы. Чаттерджи и Пари (1990) использовали непараметрические методы для оценки факторов для APT и установили, что количество факторов увеличивается линейно с количеством ценных бумаг. Шукла и Трчинка (1990) используют метод основных компонентов для выявления факторов и обнаружили, что 40% вариации в доходности может быть объяснено APT моделью с 5 параметрами. Мэй (1993) использовал данные с 1963 по 1990 и обнаружили, что APT может объяснить дивидендную доходность, но не в состоянии объяснить отношение рыночной стоимости к номинальной цене акций и коэффициент Р/Е. [8, 181-182]

Таким образом, становится очевидно, что оценка стоимости акционерного капитала представляет собой крайне нетривиальную задачу. Исходя из этого, можно сделать заключение, что ставка дисконтирования денежного потока фирмы в моделях дисконтирования денежных потоков сама по себе представляет отдельный предмет широкомасштабного и длительного исследования многих выдающихся ученых. Поэтому, далее в работе будет применяться устоявшаяся практика оценки, помня, что разрабатываемая модель строится на определенных допущениях относительно будущего, могущих быть ошибочными не вследствие ошибочности модели, а в результате принципиальной непредсказуемости будущего. В следующем разделе опишем типы компаний, оценка которых может быть затруднена при применении метода дисконтирования денежного потока, а также некоторые другие ограничения в использовании описываемого метода